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实数的六大完备性定理是什么?

发布时间:2019-09-20 13:05 来源:未知 编辑:admin

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  这六大定理分别为:确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理,还有一个柯西收敛准则。

  实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理,它们彼此等价,以不同的形式刻画了实数的连续性,它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具,在微积分学的各个定理中处于基础的地位。

  7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立,只能说明它们同时成立或同时不成立,这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立,从而说明它们同时都成立。

  引进方式主要是承认戴德金公理,然后证明这7个基本定理与之等价,以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现,但这7个定理是教学中常见的基本定理。

  对任意a,b∈R,有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应,依次称为a,b的和与积,满足:

  4、(单位元) 存在R中两个不同的元素,记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元,使对所有的a∈R,有a+0=a,a·1=a。

  5、(逆元) 对每个a∈R,存在R中惟一的元素,记为-a,称为加法逆元;对每个a∈R\{0},存在R中惟一的元素,记为a^(-1),称为乘法逆元,使a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。

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